2012年河北高考文数真题（文字版）

其中有一个很特别的：一个循环群是简单的若且唯若其目(元素数目)为质数。

2012年普通高等学校招生全国统一考试

函数同构高考真题 高中数学函数同构

函数同构高考真题 高中数学函数同构

文科数学（必修加选修Ⅰ）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1. 答题前，考试在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2. 每小题选出后，用2B铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号，在试题卷上作答无效。

3. 第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

一． 选择题

(1) 已知A={x︱x是平行四边形}，B={x︱x是矩形}，C={x︱x是正方形}，D{x︱x是菱形}，则

(2) 函数y= (x≥-1)的反函数为

(3) 若函数 是偶函数，则 =

（4）已知a为第二象限角，sina= ，则sin2a= （5）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为

（6）已知数列｛a n ｝的前n项和为Sn, a1=1,Sn=2a n+1, 则sn=

（7）

（7）6位选手依次演讲，其中选手甲不再个也不再一个演讲，则不同的演讲次序共有

A 240种 B 360种 C480种 D720种

（8）已知正四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=2，CC 1 = ,E为CC 1 的中点，则直线AC 1 与平面BED的距离为

（9）△ABC中，AB边的高为CD, |a|=1,|b|=2,则

（10）已知F1、F2为双曲线 C：X 2 -Y 2 =2的左、右焦点，点p在c上，|PF 1 |=2|PF 2 |,则cos∠F 1 PF 2 =

（11）已知x=lnπ，y=log 5 2 ,z= ,则

A x

(12) 正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE=BF= ,动点p从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点p次碰到E时，p与正方形的边碰撞的次数为

A 8 B 6 C 4 D 3

启用前

2012 年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（必修 + 选修 Ⅰ ）

第Ⅱ卷

注意事项：

1. 答题前，考试在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2. 每小题选出后，用2B铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号，在试题卷上作答无效。

3. 第Ⅰ卷共10小题，每小题38.正难则反法：分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

（注意：在试题卷上作答无效）

(13) 的展开式中 的系数为____________.

(14) 若x、y满足约束条件 则z = 3x – y 的最小值为_____________.

(15)当函数y=sinx- 取得值时，x=_____________.

(16)一直正方体ABCD- 中，E、F分别为 的中点，那么一面直线AE与 所成角的余弦值为____________.

三． 解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

（17）(本小题满分10分)（注意：在试题卷上作答无效）

△ABC中，内角A、B、C成等数列，其对边a、b、c满足 ，求A。

（18）(本小题满分12分) （注意：在试题卷上作答无效）

已知数列{ }中， =1，前n项和 。

（Ⅰ）求

(Ⅱ)求 的通项公式。

（19）（本小题满分12分）（注意:在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA 底面ABCD，AC= PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC。

（I） 证明PC 平面BED；

（II） 设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小

（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

乒乓球比赛规则规定，一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。

（II） 求开始第5次发球时，甲得分的概率。

（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知函数

（I） 讨论f（x）的单调性；

（II） 设f（x）有两个极值点 若过两点 的直线I与x轴的交点在曲线 上，求α的值。

（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知抛物线C： 与圆 有一个公共点A，且在A处两曲线的切线与同一直线

（I） 求r；

（II） 设m、n是异于 且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到 的距离。

有关抽象代数里的一个同态定理的证明上的疑问

猜你感兴趣：

定理：设H是G的子群，a,b∈G则aH=bH的充要条件是a-1b∈H

for(i=1;i<100;++i)

证明：充分性，设a-1b=h(h属于H)，则b=ah,所以bH=ahH=aH

必要性，因为aH=bH,所以对h属于H，必存在h1属于H使ah=bh1,a-1b=hh1^-1属于H

证毕！

高考数学基础题有哪些

1、二次函数。

二次函数解析式的三种形式：

顶点式：f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）。

零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）。

幂函数的图象一定会出现在象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出总结：高考中的选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。例如：估值选择法、特值检验法、顺推解除法、数形结合法、特征分析法、逆推验证法等都是常用的解法.解题时还应特别注意：选择题的四个选择支中有且一个是正确的，因而在求解时对照选择支就显得非常重要，它是快速选择、正确作答的基本前提。现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。

2、复合函数。

设函数Y=f（u）的定义域为D，函数u=φ（x）的值域为Z，如果D∩Z，则y通过u构成x的函数，称1、三个“基本”：基本的概念要清楚，基本的规律要熟悉，基本的方法要熟练。为x的复合函数，记作Y=f（φ（x））。

x为自变量，y为因变量，而u称为中间变量。 如等都是复合函数。 就不是复合函数，因为任何x都不能使y有意义。由此可见，不是任何两个函数放在一起都能构成一个复合函数。

高考数学必备技巧：

2、做完题目后一定要认真总结，做到举一反三，这样，以后遇到同一类的问题是就不会花费太多的时间和精力了。

3、一定要全面了解数学概念，不能以偏概全。

4、学习概念的最终目的是能运用概念来解决具体问题，因此，要主动运用所学的数学概念来分析，解决有关的数学问题。

7、在学习中，要有意识地注意知识的迁移，培养解决问题的能力。

8、要将所学知识贯穿在一起形成系统，我们可以运用类比联系法。

9、将各章节中的内容互相联系，不同章节之间互相类比，真正将前后知识融会贯通，连为一体，这样能帮助我们系统深刻地理解知识体系和内容。

10、在数学学习中可以利用口诀将相近的概念或规律进行比较，搞清楚它们的相同点，区别和联系，从而加深理解和记忆。弄清数学知识间的相互联系，透彻理解概念，知道其推导过程，使知识条理化，系统化。

同构函数的技巧

9.联想法(同似法)(归结法)直接法的变形法有时一读到题就有种做过的感觉，那么此时，你就联想以前做过的题和总结的结论，看是否相同伙相似，寻找联系及区别，此时要严谨，千万不能出现思维错误思维定势，不能不多就是它了

同构函数的技巧如下：

幂函数同构，指数函数同构，正弦函数同构，余弦函数同构，反三角函数同构，圆锥曲线的双切线，双割线同构，同构逆用。

幂函2022年全国乙卷高考数学试题相关文章：数介绍如下：

幂函数（power function）是基本初等函数之一。当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增；当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在象限内单调递增。

指数函数同构介绍如下：

指数函数是重要的基本初等函数之一。一般地，y=a^x函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R，注意，在指数函数的定义表达式中，在a^x前的系数必须是数1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，否则，就不是指数函数。

指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于2.718281828，还称为欧拉数。

正弦函数介绍如下：

正弦（sine），数学术语，是三角函数的一种，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比,叫作∠A的正弦，记作sinA（由英语sine一词简写得来），即sinA=∠A的对边/斜边。

古代说的“勾三股四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜边，“勾”、“股”是直角三角形的两条直角边。正弦是股与弦的比例，余弦是余下的那条直角边与弦的比例。

勾股弦放到圆里。弦是圆周上两点连线。的弦是直径。把直角三角形的弦放在直径上，股就是∠A所对的弦，即正弦，勾就是余下的弦——余弦。

高考函数导数解题方法

高考数学基础题二次函数、复合函数。

在近十年的高考中,导数综合解答题常常作为压轴之作.这类题由于其解答的方法灵活,没有固定的解题套路,对学生的综合能力要求较高,难度往往很大,得分率极低。下面是我为你整理关于高考函数导数解题方法的内容，希望大家喜欢!

2022年全国乙卷高考数学试题

做导数题要细心一定要看看题目中有无lnx，log之类的别忘了看有无lnx，log之类的因为如果有lnx，log,x要>0还要细心地是分母不等于0还有很多导数选择题要看看能不能判断出奇函数还是偶函数一旦判断出来，离最终就近了一大步很多导数选择题要构造函数才能解出导数解答题一般要考虑分类讨论，如果是求单调区间，取值范围就只能用区间表示，不能用表示。对原函数求导前先看看能不能化简，先化简在求导可以省很多时间计算粗心率也大大减少也有很多导数题要求导2次如果函数中有一个未知数，一般将这个未知数捞出比如f(x)=ax?-3x+1>0应该化为a>3/x?-1/x?

高考数学小题答题技巧

选择题从难度上讲是比其他类型题目降低了，但知识覆盖面广，要求解题熟练、准确、灵活、快速。选择题的解题思想，渊源于选择题与常规题的联系和区别。它在一定程度上还保留着常规题的某些痕迹。

而另一方面，选择题在结构上具有自己的特点，即至少有一个(若一元选择题则只有一个)是正确的或合适的。因此可充分利用题目提供的信息，排除迷惑支的干扰，正确、合理、迅速地从选择支中选出正确支。选择题中的错误支具有两重性，既有干扰的一面，也有可利用的一面，只有通过认真的观察、分析和思考才能揭露其潜在的暗示作用，从而从反面提供信息，迅速作出判断。

由于我多年从事高考试题的研究，尤其对选择题我有自己的一套考试技术，我知道无论是什么科目的选择题，都有它固有的漏洞和具体的解决办法，我把它总结为：6大漏洞、8则。

“6大漏洞”是指：

有且只有一个正确;不问过程只问结果;题目有暗示;有暗示;错误有严格标准;正确有严格标准;

“8大原则”是指：

选项原则;范围原则;定量转定性原则;选项对比原则;题目暗示原则;选择项暗示原则;客观接受原则;语言的度原则。经过我的培训，很多的学生的选择题甚至1分都不丢。

下面是一些实例：

1.特值检验法：

对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。

2.极端性原则：

将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。

3.剔除法：

利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的，从而达到正确选择的目的。这是一种常用的方法，尤其是为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。

4.数形结合法：

由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出的方法。数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。

5.递推归纳法：

通过题目条件进行推理，寻找规律，从而归纳出正确的方法。

6.顺推解除法：

利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的方法。

7.逆推验证法(代入题干验证法)：

将选择支代入题干进行验证，从而否定错误选择支而得出正确选择支的方法。

从题的正面解决比较难时，可从选择支出发逐步逆推找出符合条件的结论，或从反面出发得出结论。

9.特征分析法：

对题设和选择支的特点进行分析，发现规律，归纳得出正确判断的方法。

10.估值选择法：

有些问题，由于题目条件限制，无法(或没有必要)进行精准的运算和判断，此时只能借助估算，通过观察、分析、比较、推算，从面得出正确判断的方法。

高考数学答题殊技巧

一、按部就班的解题方法。

二、解题技巧。选择题只管结果，不管中间过程，因此在解题过程中可以大胆的简化中间过程，但简化毕竟是简化，数学是一门具有高度精密逻辑性的严谨的科学，没有充分的依据，所有的条件反射都是错误的，只有找到对的依据、逻辑思维过程、验证，才可确定，“做题不可以凭印象来，凡‘不多就是’的都是错误的，无十足把握的都是错误的”。选择题毕竟是简单的甚至可以口算的，思路也是简单的，如果没思路、做不下去或觉得复杂，或者发现做的时候需要大量计算的时候，可以明确的告诉自己，你的方向错了，可以换一种思路了。

1.直接法当选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编成的时，可直接按计算题、应用题、证明题、判断题来做，确定之后，从选项里找即可。

2.筛选法(排除法)去伪存真，筛除一些较易判定的的、不合题意的结论，以缩小选择的范围，再从其余的结论中求得正确的。如筛去不合题意的以后，结论只有一个，则为应选项。

3.特殊值法根据中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，或将比例数看成具体数带人，总之，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往十分简单。

4.验证法(代入法)将各选项逐个代入题干中，进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段，以判断选择支正误的方法。5.图象法可先根椐题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论。

6.试探法综合性较强、选择对象比较多的试题，要想条理清楚，可以根据题意建立一个几何模型、代数构造，然后通过试探法来选择，并注意灵活地运用上述多种方法。

7.猜答(语感法)选择题存在凭猜答得分的可能性，我们称为机遇分。这种机遇对每个考生是均等的。猜答，并不是“点一点二点三点四，点住谁了算谁嘞”或是“鸡毛蒜皮”类的。而是在筛选后的选项里进行猜答，而且猜时不能用上面说的类似弱智法，要看着谁顺眼就选谁，看哪个更可能选哪个。在答题中因找不到充分的根据确定正确选项时，可以将试题默读几遍，自己感觉读起来不别扭，语言流畅顺口，即可确定为。这方法是万不得已之时才用的，因为大多数人在考试上一遇到稍微难一点点的题就心慌，为了给后面的大题留时间，此时就要用此法。

8.特征法(对题设和选择支的特点进行分析，发现规律，归纳得出正确判断的方法)。根据题干的特征，又加上做了那么多的题，一看题的特征再一看选项，条件反射，就能选出，但还要按部就班地去做用验证法得正确。利用选项之间的关系，即利用干扰选项做题。选择题除了正确外，其他的都是干扰选项，除非是乱出的选项，否则都是可以利用选项的干扰性做题。

一般出题者不会随意出个选项，总是和正确有点关系，或者是可能出错的结果，我们就可以借助这个命题过程得出正确的结论。如两个选项意思完全相反，则两个之间必有正确。四个选项中有一个选项不属于同一范畴，那么，余下的三项则为选择项。如有两个选项不能归类时，则根据优选法选出其中一个选项作为自己的选择项。只有一个，且是与其它选项比出来的。利用题干与选项的联系。选择题必定考察课本知识，做题过程中，可以判断和课本哪个知识相关?那个选项与这个知识点无关的可立即排除，与题干联系不太紧密的大半排除，答非所问的立即排除。

10.估值法有些问题，由于题目条件限制，无法(或没有必要)进行精准的运算和判断，此时只能借助估算，通过观察、分析、比较、推算，从面得出正确判断的方法。

1. 高考数学函数与导数易错知识点汇总

3. 2017高考数学函数与导数专项练习题及

4. 高三数学函数与导数复习

5. 高中数学常用导数公式

高考数学基础题有哪些

四、快与准的关系

1、二次函数。

二次函数解析式的三种形式：

顶点式：f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）。

零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）。

幂函数的图象一定会出现在象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。

2、复合函数。

设函数Y=f（u）的定义域为D，函数u=φ（x）的值域为Z，如果D∩Z，则y通过u构成x的函数，称为x的复合函数，记作Y=f（φ（x））。

x为自变量，y为因变量，而u称为中间变量。 如等都是复合函数。 就不是复合函数，因为任何x都不能使y有意义。由此可见，不是任何两个函数放在一起都能构成一个复合函数。

高考数学必备技巧：

2、做完题目后一定要认真总结，做到举一反三，这样，以后遇到同一类的问题是就不会花费太多的时间和精力了。

3、2. 高考数学函数与导数易错知识点一定要全面了解数学概念，不能以偏概全。

4、学习概念的最终目的是能运用概念来解决具体问题，因此，要主动运用所学的数学概念来分析，解决有关的数学问题。

7、在学习中，要有意识地注意知识的迁移，培养解决问题的能力。

8、要将所学知识贯穿在一起形成系统，我们可以运用类比联系法。

9、将各章节中的内容互相联系，不同章节之间互相类比，真正将前后知识融会贯通，连为一体，这样能帮助我们系统深刻地理解知识体系和内容。

10、在数学学习中可以利用口诀将相近的概念或规律进行比较，搞清楚它们的相同点，区别和联系，从而加深理解和记忆。弄清数学知识间的相互联系，透彻理解概念，知道其推导过程，使知识条理化，系统化。

同构的两个群是否一定同构？

证明：如果题目所问的是两个同阶的有限交换群是否同构，是否定的。

一个简单的反例便是{0,1,2,3}和{0,1}×{0,1}考点一：与简易逻辑。

前者的群乘法是模4的加法，后者的群乘法定义为(a,b)·(c,d)=(a⊕c,b⊕d)，其中⊕表示异或。

容易验证这二者都是四阶群，但不同构，证明如下：

设同构，设该同构函数为f，设f(1)=(a,b)，则f(0)=(0,0)（同构将一个群的幺元映射成另一个群的幺元），f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=(a⊕a,b⊕b)=(0,0)=f(0)。

这说明f不是单射，这与f是同构矛盾。

因此由反证法知这两个群不同构。

扩展资料

近世代数即抽象代数。

代数是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的代数方程理论，主要研究某一代数方程(组)是否可解，如何求出代数方程所有的根〔包括近似根〕，以及代数方程的根有何性质等问题。

法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想解决了用根式求解多项式方程的可能性问题。他是个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。

他使代数学由作为解代数方程的科学转变为研究代数运算结构的高考数学复习主干知识点汇总：科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。

循环群为什么和 z 或 zn同构

8. 在这个商集上可以定义类似的代数结构，使得前面提到的映射是同态。从这个商代数到上述提到的子代数诱导的映射就是一个同构映射了。

在群论里，循环群是指能由单个元素生成的群。即存在一群内的元素'(此元素称为此群的生成元)，使得群内的每个元素均为'的若干次方，当群的运算以乘法表示时(为'的倍数，若群的运算以加法表示)。

6、要主动提高综合分析问题的能力，借助文字阅读去分析理解。

定义

设('，·)为一个群，若存在一'内的元素'，使得' = <'> = { '' ?' }，则称'关于运算“·”形成一个循环群。由群内的一个元素所生成的群均为循环群，而且是此群的子群。当群G内含有'的子群为'本身时，可证明'是循环群。

例如，若' = { ', '1, '2, '3, '4, '5 }, 则'为循环的，且'同构於模 6 的加法群：{}。

分类

对於每一个正整数 n ，都存在一个（在同构的意义上）阶为此正整数 n 的循环群，或者说，所有的 n 阶循环群都和模 n 的同余类构成的加法群Z/nZ同构。如果一个循环群的阶是无限的，那么它同构于整数关于加法构成的群。因此，循环群已被完全分类，是最简单的一种群。

标记

由于循环群必然是阿贝尔群，且与加法群Z/nZ或整数的加法群同构，它的运算常常会以加法写出，且被标记为Z'；但数论学家一般会避免使用这种标记，因为它和对应於一个素数的p进数环或局部化的标记相冲突，容易混淆，因此也有直接记作Z/n'Z，或以乘法写出，标记为''的。(如在'5中的'3'4 = '2，在同构的意义上和Z/5Z中的 相同。）

所有的有限循环群皆为周期群。

性质

每一个循环群都同构模'的加法群：{或整数的加法群Z。因此，要了解循环群的一般性质，只需要看这些群有什麽性质就可以了。所以，循环群是最容易去学习的群，且有许多的良好性质。设'是一个'('可能是无限的，代表同构于整数)阶的循环群，'是'中一个元素，则：

G为交换群。这是因为' + ' mod ' = ' + ' mod '。

若'为有限的，则，因为 ' mod ' = 0。

若'为无限的，则恰好存在两个生成元，对Z而言，被称为1及?1，且其他同构于'的群均是无限循环群。

若'为有限的，则存在着恰好φ(n)个生成元，其中φ为欧拉函数。

''同构於Z/nZ(Z'nZ上的商群)，因为Z/nZ = {0 +'nZ, 1 + nZ, 2 +'nZ, 3 + nZ, 4 +'nZ, , ' ? 1 + n'Z} 以'为模之加法的{ 0, 1, 2, 3, 4, , ' ? 1}。

Z/n'Z的生成元为和'互质的整数之同余类；其生成元的数目被称为φ(')，其中φ为欧拉函数。

更一般的，若'为'的因数，则在Z/n'Z中，阶为'的元素有φ(')个。同余类'的目为' / (',')。

若'一质数，则阶为'的群都同构于循环群Z'。

Z'和Zm两个循环群的直积是循环群若且唯若'和'互质。故Z12（一个循环群）会是Z3和Z4的直积，而不会是Z6和Z2的直积。

由定义直接可知，循环群有一其型式为< ' | '' >之非常简单的展现。

有限产生阿贝尔群||阿贝尔群的基本定理说明每一个有限产生阿贝尔群都是有限多个循环群的直积。

Z'和Z都是可交换环。若'为一质数，则Z'为一有限域，且亦可标记为F'或GF(')。其他每一个具有'个元素的域都与其同构。

环Z'的可逆元为和'互质的数。它们形成一个整数模n的乘法群；它有φ(')个元素，记作Zn×。

实际上可以证明，Zn×为循环的若且唯若'为2或4或''或2 ''，其中'为一奇质数，'≥1。这里，Zn×的每个生成元被称为模'的原根。

因此，Zn×在'=6时是循环的，但在'=8时则不是，而转而会同构於克莱因四元群。

对於每个质数'，群Zp×为具有'-1个元素的循环群。更一般性地，任一域中的乘法群之有'子群都是循环的。

例子

在二维和三维空间里，'折旋转对称的对称群为''，属Zn抽象群类型。在三维里，亦存在其他代数地相同的对称群，详见三维点群。

需留意的是，圆的所有旋转所组成之群'1(圆群)不是循环的，甚至不是可数的。

'次单位根形成一个关于乘法的'阶循环群。

每一个有限域之有限扩张的伽罗瓦群是有限且循环的；相反地，给定一有限域'和一有限循环群'，则存在一个'的有限域扩张，其伽罗瓦群为'。

表示

有限循环群的环图全是有着其元素在各个角上的'边形。下面环图中的黑角表示是单位元素，而其他的角则为群的其他元素。一个环包括着连接着单位元之元素的接续之次方。

Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8

子群

所有循环群的子群及商群都是循环的。特别地，Z的子群为mZ的形式，其'm为非负整数。对于不同的 m 'mZ 形式的子群是不同的，且除了当然群('=0)外都同构於Z。Z的子群格同构於以可除性排序之自然数格的对偶。所有Z的商群都是有限的，除了一个当然的例外Z/{0}之外。对每个'的正因数'，群Z/n'Z恰好有一个'目的子群，它由'/'的剩余类所产生。其不存在其他的子群。故其子群格会同构於以可除性排序之'的因数所组成的。

举一个实际的问题，给定一个'目之有限子群'，其生成元为'，并要求求得以某一整数'之''所生成的子群之大小'。这里，'会是能使m'能被'整除之最小正整数。因此其为'/'，其中'为'和'的公因数。换句话说，由''产生之子群之指标为'。其理由在数论中被称为指标计算演算法。

自同态

阿贝尔群Z'的自同态环会同构於此阿贝尔群，且使其构成一个环。在此同构之下，数字'会对应於将每个元素映射至其'次乘积之值上之Z'的自同态。此一自同态只有在'和'互质时会是个双射函数，所以Z'的自同构群会同构於群Zn×(见上面)。Z'的自同构群有时会被称为Z'的特徵群，且此一群的建构会直接导致对狄利克雷特徵的定义。

相似地，加法群Z的自同态环会同构於环Z，且其自同构群会同构於环Z的单位群，即{?1, +1} Z2。

另见

三维循环对称群

循环扩张

循环模

同余

朗博函数同构的常见形式

例如，当'=6时有Zn× = { 1, 5}，而当'=8时则有Zn× = {1,3,5,7}。

朗博 函数 ,又称欧米伽函数或乘积对数函数,是复变函数 的反函数.

辨明两个易误点：

如果我们把朗博函数的定义域限制在 上,取其在 上的函数值,

那么就定义了一个单调递增的函数 ;同时将定义域在

同构和同态有什么区别,它们可以用在哪些方面?

二 . 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 把填在题中横线上

区别主要在于是否是一一映射。

经典例子，“实数的加法群”到“正实数的乘法群”就是同构，映射函数是对数函数，因为是一一映射；而“实数加法群”到“复平面上单位圆上面点的乘法群”，只能是同态，映射函数是e^ix，因为映射函数是以2π为周期的周期函数，所以每个单位圆上的点可以映射过来对应无穷多个实数。

相关应用：

1. 通俗来说，同构是指具有相同的代数结构。代数结构由一个或多个、若干运算及一些运算规则所确定。代数结构相同的含义是指：除了表示元素的符号有可能不同外，对应的元素个数相同，上的运算一致，运算规则也完全一样。

2. 两个代数结构相同是指它们之间至少存在一个同构映射。同构映射要满足两个条件：它是之间的双射或一一对应；它保持代数结构的所有运算及一些特殊元素，比如，单位元、零元素等等，尽管有些要求可以由其它主要条件推出。

3. 举个例子，两个群之间的同构映射为之间的双射，且该映射保持群的乘法运算。即，先乘积后映射与先映射后乘积的结果一致。

4. 研究代数结构的主要目的是对其进行分类，或者说找出所有的这种代数结构。同构的代数结构可以不加区分，把它们可以看成一样的。因此，代数结构的分类就是找出该代数结构的所有同构类。

5. 如果两个代数结构不同构，为了研究它们之间的关系，可考虑它们之间保持运算的映射，这就是同态的概念。同态比同构更一般、广泛；同构只是同态的特例。

6. 同态不是同构的原因主要体现在：相应的映射不是双射，即，不是单射或不是满射。当然也可能既不是单射也不是满射。当映射不是满射时，我们只需考虑映射的像集，这个像集是原来代三角部分是高中数学的传统内容，它是中学数学重要的基础知识，因而具有基础性的地位，同时它也是解决数学本身与其它学科的重要工具，因此具有工具性。高考大部分以中低档题的形式出现，至少考一大一小两题，分值16分左右，其中三角恒等变形、求值、三角函数的图象与性质，解三角形是支撑三角函数的知识体系的主干知识，这无疑是高考命题的重点。数结构的子结构。比如，对群的情形，同态的像集是一个子群。用子结构替换原来的代数结构，原来的映射变成了满射！

7. 当映射不是单射时，不同的元素被映到相同的元素。这时，可以把映到同一个元素的元素看成是一样的，或者说它们是等价的。这样我们将得到一个等价关系，做商集。在这个商集上诱导的映射就是一个单射了。这就是同态基本定理的主要想法。

同构函数的技巧

5.解析几何

同构函数的技巧如下：

同构是通过合理的整理变形使函数的解析式变形成为我们熟悉的函 数或者把题干中的方程、不等式通过合理变形使得代数式的两边呈现 出相同的结构,即把代数式变为 f[g(x)]与 f[h(x)]的关系,则可将相同 的结构构造函数 f(x),进而利用函数 f(x)的单调性、最值等手段解决问题。

同构函数的公式如下：

1、Y=xe^x，定义域：x∈R。

当x∈（-∞，-1）时，函数单调递减；当y`<0,y=xe^x单调递减；当x∈（-1，+∞）时，y`>0,y=xe^x单调递增。

函数y=xe^x有最小值，y=-1/e,没有值。

2、函数y=x对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况。/e^x,定义域：x∈R。

x∈（-∞，1）时，y`>0,函数单调递增；x∈（1，+∞），y`<0,函数单调递减。

有值，y=1/e,没有最小值。

3、函数y=e^x/x,定义域x≠0。

当x∈（-∞，0）时，y`<0,函数单调递减；当x∈(0,1)时，y`<0,函数单调递减；当x∈(1,+∞)时，y`>0,函数单调递增。