导数的定义是什么？

令，解得：.

也称为达布定理，是微积分中的一个重要定理。

高考导数定义例题及解析 高考导数的题型及解题技巧

高考导数定义例题及解析 高考导数的题型及解题技巧

综上，a的取值范围是[0，1]。

用于描述函数的导数在某个区间内的性质。该定理说明了，如果一个函数在一个区间内是可导的，那么它的导数将会在这个区间内取到介于函数在区间端点处导数的值之间的所有值。

具体来说，设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 内连续，且在开区间 (a, b) 内可导。则对于任意 c 介于 f'(a) 和 f'(b) 之间，存在一个点 x0 在开区间 (a, b) 内，使得 f'(x0) = c。

二、导数：

导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率或斜率。它是一个函数的每个点上的瞬时变化率，通常表示为函数 f(x) 关于自变量 x 的导数，记作 f'(x) 或 dy/dx。

如果函数 f(x) 在某个点 x0 处的导数存在，那么导数可以通过以下极限定义来表示：

[ f'(x_0) = lim_{h to 0} frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} ]

其中，x0 是某一点，h 是一个趋近于高考数学导数解题技巧零的实数。

导数的概念和性质：

一、导数的几何意义：

函数在某一点的导数等于曲线在该点切线的斜率，描述了函数在这一点的瞬时变化率。

二、导数的符号：

如果导数为正，表示函数在该点上递增；如果导数为负，表示函数在该点上递减；如果导数为零，表示函数在该点上取得局部极值。

三、导数的计算法则：

有一系列导数的计算法则，如常数法则、幂法则、和法则、乘积法则、商法则等，用于计算复杂函数的导数。

除了一阶导数，还可以定义二阶导数、三阶导数等，表示函数导数的导数，描述了函数的加速度等性质。

五、导数的应用：

导数在许多领域中有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。它可以用来解决优化问题、曲线绘制、速度和加速度的计算等。

高中导数题型总结

2、(根分布与线性规划例子)

总结是对过去一定时期的工作、学习或思想情况进行回顾、分析，并做出客观评价的书面材料，通过它可以全面地、系统地了解以往的学习和工作情况，让我们抽出时间写写总结吧。那么你知道总结如何写吗？下面是我帮大家整理的高中导数题型总结，仅供参考，希望能够帮助到大家。

，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

步：令得到两个根;

第二步：画两图或列表;

第三步：由图表可知;

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

2、常见处理方法有三种：

种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)

第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元);

例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，

(1)若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围;

(2)若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的值.

解:由函数得

(1)在区间上为“凸函数”，

解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于

解法二：分离变量法：

∵当时,恒成立,

当时,恒成立

等价于的值()恒成立，

而()是增函数，则

(2)∵当时在区间上都为“凸函数”

变更主元法

再等价于在恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)

请同学们参看2010第三次周考：

例2：设函数

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;

(Ⅱ)若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.

(二次函数区间最值的例子)

解：(Ⅰ)

令得的单调递增区间为(a,3a)

令得的单调递减区间为(-，a)和(3a，+)

∴当x=a时，极小值=当x=3a时，极大值=b.

(Ⅱ)由||≤a，得：对任意的恒成立①

则等价于这个二次函数的对称轴(放缩法)

即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

上是增函数.(9分)

∴于是，对任意，不等式①恒成立，等价于

又∴

第三种：构造函数求最值

题型特征：恒成立恒成立;从而转化为、二种题型

例3;已知函数图象上一点处的切线斜率为，

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)当时，求的值域;

(Ⅲ)当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。

解：(Ⅰ)∴，解得

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减

又∴的值域是

(Ⅲ)令

思路1：要使恒成立，只需，即分离变量

思路2：二次函数区间最值

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为在给定区间上恒成立，回归基础题型

解法2：利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集;

做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集

例4：已知，函数.

(Ⅰ)如果函数是偶函数，求的极大值和极小值;

(Ⅱ)如果函数是上的单调函数，求的取值范围.

解：.

(Ⅰ)∵是偶函数，∴.此时，，

列表如下：

(-∞,-2)

-2

(-2,2)

2(2,+∞)

+-

+递增

极大值

递减

极小值

递增

可知：的极大值为，的极小值为.

(Ⅱ)∵函数是上的单调函数，

∴，在给定区间R上恒成立判别3.从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查。式法

则解得：.

综上，的取值范围是.

例5、已知函数

(I)求的单调区间;

(II)若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想

(I)

1、

当且仅当时取“=”号，单调递增。

2、

单调增区间：

单调增区间：

(II)当则是上述增区间的`子集：

1、时，单调递增符合题意

2、，

三、题型二：根的个数问题

解题步骤

步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系;

第三步：解不等式(组)即可;

例6、已知函数，，且在区间上为增函数.

求实数的取值范围;

若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围.

解：(1)由题意∵在区间上为增函数，

∴在区间上恒成立(分离变量法)

即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为

(2)设，

令得或由(1)知，

①当时，，在R上递增，显然不合题意…

②当时，，随的变化情况如下表：

—↗

极大值

↘极小值

↗由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即∴，解得

综上，所求的取值范围为

例7、已知函数

(1)若是的极值点且的图像过原点，求的极值;

(2)若，在(1)的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点?若存在，求出实数的取值范围;否则说明理由。

解：(1)∵的图像过原点，则，

又∵是的极值点，则

(2)设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，

等价于有含的三个根，即：

整理得：

即：恒有含的三个不等实根

(计算难点来了：)有含的根，

则必可分解为，故用添项配凑法因式分解，

十字相乘法分解：

恒有含的三个不等实根

等价于有两个不等于-1的不等实根。

题2：切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数

例7、已知函数在点处取得极小值-4，使其导数的的取值范围为，求：(1)的解析式;(2)若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.

(1)由题意得：

∴在上;在上;在上

因此在处取得极小值

∴①，②，③

(2)设切点Q，

过令，

求得：，方程有三个根。

故：;因此所求实数的范围为：

题3：已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数

解法：根分布或判别式法

例8、

解：函数的定义域为(Ⅰ)当m=4时，f(x)=x3-x2+10x，

=x2-7x+10，令，解得或.

令，解得

可知函数f(x)的单调递增区间为和(5，+∞)，单调递减区间为.

(Ⅱ)=x2-(m+3)x+m+6,

要使函数y=f(x)在(1，+∞)有两个极值点,=x2-(m+3)x+m+6=0的根在(1，+∞)

根分布问题：

例9、已知函数，(1)求的单调区间;(2)令=x4+f(x)(x∈R)有且3个极值点，求a的取值范围.

解：(1)

当时，令解得，令解得，

所以的递增区间为，递减区间为.

当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.

(2)有且3个极值点

=0有3个根，则或，

方程有两个非零实根，所以

或而当或时可证函数有且3个极值点

1、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在上的函数在区间上的值是5，最小值是-11.

(Ⅰ)求函数的解析式;

解：(Ⅰ)

令=0,得

因为，所以可得下表：

+-

↗极大

↘因此必为值,∴因此，，

即，∴，∴

(Ⅱ)∵，∴等价于，

令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，

为此只需，即，

(1)已知函数

(Ⅰ)若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求的解析式;

(Ⅱ)当在取得极大值且在取得极小值时,设点所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.

解：(Ⅰ).由,函数在时有极值,

∴∵∴

又∵在处的切线与直线平行,

∴故

∴…………………….7分

∴即令,则

∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,

易得,,,,,

同时DE为△ABC的中位线,

∴所求一条直线L的方程为:

另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分,设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G,则,

由得点F的横坐标为:

由得点G的横坐标为:

∴即

解得:或(舍去)故这时直线方程为:

综上,所求直线方程为:或.…………….………….12分

(Ⅱ)解法二:由及在取得极大值且在取得极小值,

∴即令,则

∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,

易得,,,,,

同时DE为△ABC的中位线,∴所求一条直线L的方程为:

另一种情况由于直线BO方程为:,设直线BO与AC交于H,

由得直线L与AC交点为:

∵,,

∴所求直线方程为:或

3、(根的个数问题)已知函数的图象如图所示。

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f(x)的解析式;

(Ⅲ)若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。

解：由题知：

(Ⅰ)由图可知函数f(x)的图像过点(0,3)，且=0

得(Ⅱ)依题意=–3且f(2)=5

解得a=1,b=–6

所以f(x)=x3–6x2+9x+3

(Ⅲ)依题意f(x)=ax3+bx2–(3a+2b)x+3(a>0)

=3ax2+2bx–3a–2b由=0b=–9a①

若方程f(x)=8a有三个不同的根，当且仅当满足f(5)<8a

由①②得–25a+3<8a<7a+3

所以当

4、(根的个数问题)已知函数

(1)若函数在处取得极值，且，求的值及的单调3）.特殊极限的性质区间;

(2)若，讨论曲线与的交点个数.

解：(1)

………………………………………………………………………2分

令得

令得

∴的单调递增区间为，，单调递减区间为…………5分

(2)由题得

即令……………………6分

令得或……………………………………………7分

当即时

-此时，，，有一个交点;…………………………9分

当即时，

∴当即时,有一个交点;

当即时，有两个交点;

当时，，有一个交点.………………………13分

综上可知，当或时，有一个交点;

当时，有两个交点.…………………………………14分

5、(简单切线问题)已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数.

(Ⅰ)若函数在处有极值，求的解析式;

(Ⅱ)若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围.

导数压轴题求取值范围

(Ⅱ)若时，恒成立，求实数的取值范围.

导数压轴题求取值范围如下：

由于导数的定义可以知道求导实际上求导的是求出该点的切线方程的斜率，

1. 确定函数和参数： 首先，明确你要研究的函数以及函数中涉及的参数。设你的函数是 (f(x; p))，其中 (x) 是变量， (p) 是参数。

2. 计算函数的导数： 使用适当的导数公式计算函数 (f(x; p)) 的导数 (f'(x; p))。这可能涉及链式法则、乘法法则、指数函数的导数规则等。

3. 确定条件：根据问题的背景，确定参数 (p) 需要满足的条件。这可能是函数的导数必须为正、函数的导数必须小于某个特定值等。

4. 建立不等式： 使用计算得到的导数公式，将所得的导数与条件进行比较，建立适当的不等式。这将帮助你找到参数 (p) 应满足的范围。

5. 解不等式： 解不等式以找到参数 (p) 的取值范围。这可能需要代数运算、分析不等式的特性以及使用数学方法来解决不等式问题。

拓展：

1.通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象。

2.在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。

4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。

5.涌现了一些函数新题型。

6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。

7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围)，和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题。

8.求极值， 函数单调性，应用题，与三角函数或向量首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法。结合。

高数 导数求解

常见导数公式：

① C'=0(C为常数函数)；

② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q)；

③ (sinx)' = cosx；

(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2

-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2

(cscx)'=-cotx·cscx

④ (sinhx)'=hcoshx

(coshx)'=-hsinhx

(tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2

(coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2

(sechx)'=-tanhx·sechx

(cschx)'=-cothx·cschx

⑤ (e^x)' = e^x；

(a^x)' = a^xlna （ln为自然对数）

(Inx)' = 1/x（ln为自然对数）

(logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1)

(1/x)'=-x^(-2)

另外就是复合函数的求导：

①(u±v)'=u'±v'

②(uv)'=u'v+uv'

③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2

后面这些高中用不到，但是多掌握点遇到时就可以直接写出来，不用再换算成常见函数来求解，

(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2

(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2

(arctanx)'=1则等价于当时恒成立/(1+x^2)

(arccotx)'=-1/(1+x^2)

(arcsecx)'=1则在区间[0,3]上恒成立/(|x|(x^2-1)^1/2)

(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)

详细过程如图请参考

高等数学在大学中让不少学生都头痛，相信许多学生都在这个科目挂过科。而导数在高等数学中占有重要位置。所以今天我就给大家讲解几种关于求导的方法。

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工具材料：

高则，解得m>3等数学书籍

作方法

01

定义法

用导数的定义来求导数，下面介绍关于定义法的例题。

02

公式法

根据书本上的公式来求导数，下面是关于公式法的例题。

03

复合函数法

利用复合函数来求导，下面是关于复合函数法的例题。

04

隐函数法

利用隐函数来求导，下面是关于隐函数法的例题。

05

对数法

对数法适用于幂指函数和所给函数可看做是幂的连乘积求导数，可简化运算。下面是对数法的例题。

用到了积化和，和化积公式。公式如下：

sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]

你根据公式自己做一做，cosx情况一样。

那是使用了三角函数和化积公式，即:

sin(x+h)-sinⅹ

=2cos(x+h+x/2)sin(x+h-x)/2

=2cos(ⅹ+h/2)sinh/2

=cos(x+h)sin(h/2)/(1/2)。

第二十八题 求过程和 在线等

(Ⅱ)解法一:由及在取得极大值且在取得极小值,

由于分子分母当h趋于0时均趋于0,故用洛必达法则，分子分母同时求导再取极限 为-1/9

点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域由①②③联立得：，∴的关系

根据导数的定义，等于1/x在3处的导数值，导数为-1/x^2,结果为-1/9.

高数公式及定义、经典例题总结

(1)当a=0时，求f(x)的极值；

1.等价无穷小

(cosx)' = - sinx；

还有一个1-cosx~1/2x^2

6. 验证范围： ，将得到的参数范围代入函数 (f(x; p)) 以及其导数 (f'(x; p)) 进行验证。确保参数在这个范围内时，函数的性质与要求一致。

2.常见导数公式

3.常见高阶导数

4.麦克劳林展开式

5.不定积分

导数就是dy/dx，微分dy，可导是

可微是

一.极限定义

1.数列极限

（1）概念

此概念的意思是数列的极限值为A，有一个常数大于零，这个常数可以是1.2或者1.5，反正大于0就行，有一个正整数n，这个正整数很大，可以想象成无穷大，当n>N时，|X-A|就是数列的极限值A-A小于常数恒成立

（2）例题

2.函数极限

1）.趋近于常数的类型

（1）概念

函数的极限值是A，有一个常数大于零，当0<|x-a|<常数的意思是x趋近于a，都有|f(x)-A|<常数的意思是函数f(x)的极限值是A，趋近值和本身的值是无关的，由此可以衍生出极限和间断

函数左极限和右极限不一样则表示该点极限不存在

（2）例题

2）.趋近于无穷的类型

（1）定义|x|>X的意思是x趋近于无穷，其他和上一个类型一样

3.无穷小量

二、极限的性质

（1）定义

有三个性质分别是1.性（就是在某一点的左极限和右极限值必须相等，否则不存在）2.有界行（就是如果定义域是[a,b]那它的上界和下界分别是a和b，如果是(a,b)那就求a+的极限值，如果不是无穷则有上界，再求b-，不是无穷页数有界，上界下界是根据递增递减判断）3.局部保号性（就是在一个很小的范围内如果函数的左边大于0，右边也大于零，它本身也大于0，反之亦然）

（2）例题

三、极限存在的性质

包括1.夹逼定理（就是左边等于a右边也等于a那它本身就等于a）2.单调有界性准则（就是极限要有一个界，不能是无穷）3.特殊极限的性质

1）.夹逼定理

（1）定义

（2）例题

2）.单调有界性

三、未定式的计算

例题

小补充：对于这种题型给它抬到肩膀上就好算了

四、函数连续

1.定义（就是左极限等于右极限等于函数本身，否则就是间断）

2.例题

1.分类

2.定义（就是不极限的话基本就是间断了）

3.例题

求函数的导数就是求函数的斜率

1.导数的定义

1）两种定义方式

例题

2）.导数分左右

例题

3).可导一定连续，连续不一定可导

例题

2.可微和微分

1）.定义：可微如图所示，微分就是dy

2）.例题

3.导数的四则运算

例题

3.复合函数求导

4.隐函数求导

例题

5.反函数求导（关于y=x对称）

例题

如何理解导数的含义？为什么要求导？

四、高阶导数：

题主为这个问题，可以看得出来对求导没有好的理解，先来看导数的定义

解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].

求导的本质是对求的是函数在某点出的导数：该点处△y与△x比值在△x趋近于0时候的极限。

五、间断

而我们初学导数的时候有很多公式，比如x的平方求导为2x，sinx求导为cosx，这些全部是

由导数的定义得到的，以x的平方求导为例：

其他函数的求导公式推导也一样。

任何时候求导我们都可以用定义来求。但是可以用定义来求不代表非要我们去用定义求，

因为任何函数形式的求导结果之前都已经推导出来了，函数经过复合之后的求导法则

书中也给我们介绍了（有兴趣可以自己去推导），我们要做的就是记住他，或者自己推导

出来，再利用总结出的求导公式就行了。当我们学会骑自行车的时候可以代替步行，但是

没有必要非要去步行。

导数基础问题

(secx)'=tanx·secx

这么回事，导数的定义公式是这样的：

根的个数知道，部分根可求或已知。

f'（x0）=lim（△x→0）[f（x0+△x）-f（x0）]/△x

其它例题：

也就是说，这个公式里面，△x用什么字母代替，是写△x，还是写t，写a之类的无所谓。但是有两点必须注意。

1、分母必须趋近于0

2、分子中的f（x0+△x）的括号里面，必须是x0+1倍的分母（公式里面写的是△x），不能是x0+2倍分母，x0-1倍分母之类的形式，x0-2倍分母x+1倍的分母。必须是x0+1倍的分母。

所以题目中的极限lim（△x→0）[f（x0+2△x）-f（x0）]/△x就不符合导数的定义公式，分子里面的是f（x0+2△x），括号里面是x0+2倍分母，而不是x0+1倍分母。

所以我们就必须化为x0+1倍分母的形式。怎么化呢？可以令t=2△x，则f（x0+2△x）=f（x0+t），但是这时候，分母就从△x变成了t/2了

也就是式子变成了

求解一道数学导数题

需：

已知函数g(题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题x)=(2-a)lnx，h(x)=lnx+ax^2(a∈R)，f(x)=g(x)+h’(x)

(2)当a<0时，求f(x)的单调区间；

(3) 当-3(m+ln3)a-2ln3恒成立，求m的取值范围。

（1）解析：∵f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax，定义域为x>0

令a=0==>f(x)=2lnx+1/x==>令f’(x)=2/x-1/x^2=0==>x=1/2

f’’(x)=-2/x^2+2/x^3==> f’’(1/2)=8>0

∴当x=1/2时，函数f(x)取极小值2-2ln2

（2）解析：令a<0==> f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax，定义域为x>0

令f’(x)=(2-a)/x-1/x^2+2a=(2ax^2+(2-a)x-1)/x^2=0==>x1=1/2，x2=-1/a

f’’(x)=(a-2)/x^2+2/x^3==> f’’(x1)=4a+8；f’’(x2)=-2a^2-a^3

∴当a<-2时，f’(x)<0，f(x)在x1=1/2处取极大值；当a>-2时，f’(x)>0，f(x)在x1=1/2处取极小值；

当a<-2时，f’(x)>0，f(x)在x2=-1/a处取极小值；当a>-2时，f’(x)<=0，f(x)在x2=-1/a处取极大值；

∴当-1/a=1/2==>a=-2时，f’(x)<=0，f(x)在定义域上单调减；

当-1一、介绍：/a<1/2==>a<-2时，f(x)在(0,-1/a)或(1/2,+∞)上单调减；在[-1/a,1/2]上单调增；

当-1/a>1/2==>-2

（3）解析：∵当-3(m+ln3)a-2ln3恒成立

由(2)可知，当-3

∴f(x)max=f(1)=1+2a，f(x)min=f(3)=(2-a)ln3+1/3+6a，

∴|f(λ1)-f(λ2)|max= f(x)max- f(x)min=f(1)-f(3)=2/3-4a+(a-2)ln3

设存在λ1，λ2∈[1,3]，|f(λ1)-f(λ2)|>(m+ln3)a-2ln3恒成立

∴2/3-4a+(a-2)ln3>(m+ln3)a-2ln3==>ma<2/3-4a

∵a<0，∴m>2/(3a)-4

-3-9<3a<-6==>-1/6<1/(3a)<-1/9==>-1/3<2/(3a)<-2/9

∴-13/3<2/(3a)-4<-38/9

∴m>=-38/9