高中数学题，在线等

而 n 足够大的时候，有

关键点是：从第几项开始放缩。

高考数列放缩习题 高中数列放缩常用公式

高考数列放缩习题 高中数列放缩常用公式

也就是前面“几项”不放缩，后面的放缩成等比数列求和，这个“几项”到底是几项就只有试了。一定存在某一项，从那项开始放缩就能小于34 /21 ，而且从这个后面任1/23^(n-1)一项开始放缩都能小于34 /21 ，所以这样的项还是很多比较好找的。

可以用数学归纳法

1、当n=1时

左边=2/1-ln3＜2，成立

2、设当n=K，K∈N时，不等式成立，则

2/（2-1） +2，函数在某个区间上只有一个零点，一方面要证明函数是单调的，求导即可，另一方面要判断/（22-1）+2/（23-1）+。。。。。+2/（2K-1）-ln（2K+1）<2成立

那么，当n=K+1时

2/（2K+1）-ln（2K+3）+ln（2K+1）

=2/（2K+1）--ln（2K+3）/（2K+1）

=2/（2K+1）--ln[1+2/（2K+1）]

ln[1+2/（2K+1）]＾[（2K+1）/2]＜lne=1

[（2K+1）/2]ln[1+2/（2K+1）]＜1

ln[1+2/（2K+1）]＜2/（2K+1）

所以2/（2K+1）--ln[1+2/（2K+1）]＞0

2/（2K+1）-ln（2K+3）+ln（2K+1）＞0

左边=2/（2-1） +2/（22-1）+2/（23-1）+。。。。。+2/（2K-1）-ln（2K+1）+2/（2K+1）+ln（2K+1）-ln（2K+3）<2

数学放缩法解题

，即：

原式变形：a(n+1)+1=3(a(n)+1)

左边=2/（2-1） +2/（22-1）+2/（23-1）+。。。。。+2/（2K-1）+2/（2K+1）-ln（2K+3）

设b(n)=a(n)+1

。则b(1)=a(1)+1=2

原式变为：b(n+1)=3b(n)，是公比为3的数列。所以b(n)=b13^(n-1)=23^(n-1)

即a(n)+1=23^(n-1)

所以数列a(n)的通项公式是a(n)=23^(n-1)-1

所以原式子=1/2+1/23+1/23^2

+……

所以和S=(1/2)(1-(1/3)^n)/(1-1/3)=3/4

(1-(1/3)^n)

<3/4

证明完毕。这道题就是用放缩思想，放缩成等比数列即可。

用定义证明数列极限：lim(n^3)(|q|^n)=0，其中|q|<1 主要困难在于如何放缩，把n从不等式中解出来

c1+c2 +c3+...+cn

修改回答了，望采纳：

题目要求是用定义证明，所以需要用数列极限的定义去证明这个的成立，当。

因为|q|<1，故可令|q|=1/(1+h)，其中h>0，从而|q|^n=1/[(1+h)^n]。

(1+h)^n = 1 + nh + [n(n-1)/(21)]h^2 + [n(n-1)(n-2)/(321)]h^3 + [n(n-1)(n-2)(n-3)/(4321)]h^4 + ... + h^n

我们关心n^4的式子，

(1+h)^n > [n(n-1)(n-2)(n-3)/(4321)]h^4 > [(n-3)^4](h^4)/24

所以，

|q|^n = 1/[(1+h)^n] < 24(h^4)/[(n-3)^4]，

由此，得到我们要证明的

内单调递增，确定(n^3)(|q|^n) < (n^3)24(h^4)/[(n-3)^4] < [(2n-6)^3]24(h^4)/[(n-3)^4] = 192(h^4)/(n-3)，

任取 ε > 0，要使 |(n^3)(|q|^n) - 0| < ε，只要 192(h^4)/(n-3) < ε，

当 n > N 时，就有 |(n^3)(|q|^n) - 0| < ε。

证明完毕。

补充说明，对于(n^m)(|q|^n)，其中m正整数。

极限都是可以用上面的方法来证明等于0的，只要把 |q|变形一下，取出其中的 n^(m+1)对应的项，整理一下，就可以证明啦。

求高考放缩法总结性常用公式。

一.（等比乘以等就用这个方法） 分子分母的形式

一般是裂项放缩，这个方法在数列的裂项相消里是经常用到的。

例如：求下图的值

一看就是有分子分母的形式还要累加，对于这种形式我们最熟悉的莫过于数列中的裂项相消的方法。但是对于这个题目并不是可以直接裂开的，所以我们要先去通过放缩法对其化简成可裂项相消的形式，再去累加求解。

所以本题解S(n+1) =2a(n+1) -n-1法为：

二. 分式放缩

对于姐妹不等式我们并不陌生，相反初中我们就已经熟悉这个形式了，只是当时我们是以分数真分数的形式去记忆去理解，那到了高中我们还是用这个性质

记忆口诀”小者小,大者大”。

例如：证明

对于这个形式看上去没有好的方法去证明，所以想到放缩法去求解，实质就是根据咱们上边的不等式的基本性质。

一个不等式证明我们求解可能将其分为几部分，分别放缩求解，但是要注意我们放缩的方向是一致的，也就是要不都是放大，要不都是放小，切忌符号混乱。

对于这个不等式，我们有很多项，所以放缩的话可以分别放缩

四. 迭代放缩

这个方法更适合数列或者函数的形式去放缩，有迭代关系。

对于这个题目，是数列的前n项和的形式，虽然不能转化为等或者等比数列，但是我们要往这个形式去转化，去求解，去化简，然后又想到三角函数的值他是有范围的，肯定在[-1,1],所以从这可以开始放缩。

五. 递推放缩

这个方法也是更适合数列或函数的形式去放缩。

虽然仅仅只是总结了几个放缩的形式，但其实每个例题都是干货满满，并且需要大家消化和练习。

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已知数列 的前 项和为 ，且满足 ．（1）求 ， 的值；（2）求 ；（3）设 ，数列 的前 项和为

两式相减得a(n+1)=(1/4)a(n+1)^2-(1/4)an^2+(1/2)a(n+1)-(1/2)an

（1）

你好

（2）

． （3）见解析

的定义即可求的

.与

的关系(

),即可消去

得到关于

的递推式,整理可后利用叠乘法即可得到

的通项公式,注意验证首项.此外还可以先找规律得到通项公式，再利用数学归纳法进行证明.这也是可以的.

是不可求和的数列,可以考虑放缩成为可求和的数列,跟据

为分式,以此可以考虑放缩成为可以裂项求和的数列

,裂项求和即可证明相应的不等式.

时，有

，解得

．时，有

，解得

． 2分

时，有

, ①

．． 8分

．a1等于多少？我设a1=1吧。当

时，有

，． 9分[

，，猜想：

． 3分

第二问数列放缩问题，说下思路就可以了

n=1 , c1 =1 < 3/2

那就不第三问我不知道标准怎么做的，这其实是放缩法，只不过我得出的Sn范围比4/3还要小。详细解了

也就是说只要 n > 192(h^4)/ε + 3，故可取 N = [192(h^4)/ε + 3]，其中的中括号是取192(h^4)/ε + 3 的整数部分，

构造一个数列Bn = 3 / 3^n 即 Bn = 1 / 3^n-1

设1/an 前n项和Sn，Bn前n项和Tn

易有Sn ≤ Tn

注意到Tn = 3/2 - 1/23^n-1

< 3/2

不等式右侧的值作为某个等比数列求和后抹去无穷小量的常数，也是常规思路，这你应该知道，

至于怎么放缩1/an，可以多试试，Bn不难构造

数列的放缩和构造

，满足

放缩法：常用于证明数列的不等式，需要注意左右式子的特点，比如有根号，或平方，或有理化。要针对不同的特点来处理，然后再放缩。举个例子：证明(3/2)(5/4)(7/6)…(2n+1)/2n>根号n+1，n?正整数，右边有根号，想平方，左边=(3/23/2)(5/45/4)…(2n+1/2n)(2n+1/2n)>(3/24/3)(5/46/5)…(2n+1/2n)(2n+2/2n+1)=n+1.于是不等式得证！构造法：构造数列{an+3}

=2n-7

a(n+1)+3=2(an+3)

设bn=an+3

则：b（n+1）=2bn

这是一个等比数列

bn=b12^(n-1)

所以bn=2^(n+1)

an=2^(n+1)-3

这就是数列的构造法． ②

高数一道关于级数敛散性的题目，有图有求过程！

这是利用放缩呀。令f(x)＝． 5分1/(xlnx)，则1/(nln n)可以看成是x=n至x=n+1区间内，高是f(n)的矩形面积，也就是宽是1，高是1/(nln n)。而f(x)是单调递减函数，它与x=n和x=n+1，与x轴围成的封闭图形，比刚才的矩形面积更小，也就是在这区间内f(x)的积分小于1/(nln n)。如下图所示。

放缩后的an=2^n-1积分形成的新数列的和就可求出表达式2^(n+1)=an+3而且容易判断它发散。

已知数列 满足 ,且 .（1）求数列 的通项公

时，

（1）

1、利用点在函数上将an与Sn代进去记作1式

. （2）

3=a1+4(-2)

=.

=，

，知数列

是首项为1，公为1的等数列， 2分

， 3分

. 4分

=∴

=---------------------------① 5分

-------------------② 6分

=∴

=. 8分

10分

12分

<1 14分