正弦定理和余弦定理是什么？

正弦定理：设三角形的三边为a，b，c，他们的对角分别为A，B，C，外接圆半径为r，则称关系式a/sinA=b/sinB=c/sinC为正弦定理。

解三角形的重要工具——正弦定理和余弦定理

解三角形的重要工具——正弦定理和余弦定理

解三角形的重要工具——正弦定理和余弦定理

解三角形的重要工具——正弦定理和余弦定理

余弦定理：设三角形的三边为a，b，c，他们的对角分别为A，B，C，则称关系式a^2=b^2+c^2-2bccosA，b^2=c^2+a^2-2accosB，c^2=a^2+b^2-2abcosC。

定理意义

正弦定理是解三角形的重要工具。在解三角形中，有以下的应用领域：

1、已知三角形的两角与一边，解三角形。

2、已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。

3、运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系。

物理学中，有的物理量可以构成矢量三角形。因此，在求解矢量三角形边角关系的物理问题时，应用正弦定理，常可使一些本来复杂的运算，获得简捷的解答。

正弦定理和余弦定理公式

设任意三角形△ABC，角A、B、C的对边分别记作a、b、c，则可得到正弦定理、余弦定理的公式及其推论如下。

正弦定理公式及其推论

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等。

正弦定理公式、余弦定理公式

一、正弦定理公式

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。

【注1】其中“R”为三角形△ABC外接圆半径。下同。

【注2】正弦定理适用于所有三角形。初中数学中，三角形内角的正弦值等于“对比斜”仅适用于直角三角形。

二、正弦定理推论公式

1、（1）a=2RsinA；

（2）b=2RsinB；

（3）c=2RsinC。

2、（1）a:b=sinA:sinB；

（2）a:c=sinA:sinC；

（3）b:c=sinB:sinC；

（4）a:b:c=sinA:sinB:sinC。

【注】多用于“边”、“角”间的互化。

三角板的边角关系也满足正、余弦定理

3、由“a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R”可得：

（1）(a+b)/(sinA+sinB)=2R；

（2）(a+c)/(sinA+sinC)=2R；

（3）(b+c)/(sinB+sinC)=2R；

（4）(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R。

正弦定理推论公式

4、三角形ABC中，常用到的几个等价不等式。

（1）“a>b”、“A>B”、“sinA>sinB”，三者间两两等价。

（2）“a+b>c”等价于“sinA+sinB>sinC”。

（3）“a+c>b”等价于“sinA+sinC>sinB”。

（4）“b+c>a”等价于“sinB+sinC>sinA”。

5、三角形△ABC的面积S=(abc)/4R。其中“R”为三角形△ABC的外接圆半径。

部分三角函数公式

余弦定理公式及其推论

余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

一、余弦定理公式

（1）a^2=b^2+c^2-2bccosA；

（2）b^2=a^2+c^2-2accosB；

（3）c^2=a^2+b^2-2abcosC。

【注】余弦定理及其推论适用于所有三角形。初中数学，三角形内角的余弦值等于“邻比斜”仅适用于直角三角形。

余弦定理公式及其推论公式

二、余弦定理推论公式

1、cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc；

2、cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac；

3、cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。

三角形的正弦定理和余弦定理公式及其推论常用来解三角形。对于某些复杂题，需要把正弦定理和余弦定理及其推论综合起来运用。

【例题】已知三角形△ABC中，角A=30°，a=2，求三角形△ABC外接圆的面积。

解：设三角形ABC外接圆半径为R，

根据正弦定理得：a/sinA=2R，

所以R=a/(2sinA)=2，

所以，三角形ABC的外接圆面积S=4π。

正弦定理和余弦定理是什么意思？

如有一个直角三角形 ABC,其中 a、b 是直角边，c 是斜边。

正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c；

余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c；

正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b。

扩展资料

1、互余角的三角函数间的关系：

sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.

2、常用的诱导公式

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等

sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z）

cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）

tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）

有关的定理：

1、正弦定理（The Law of Sines）是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。

2、余弦定理：

3、在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除以条边减第二条边的所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以条边对角减第二条边对角的的一半的正切所得的商。

参考资料来源：

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正弦定理和余弦定理是什么？

正弦定理和余弦定理

正弦定理是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即a/sinA=b/sinB=c/sinC= 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。

余弦定理是三角形边角关系的重要定理，运用它可解决已知三角形两边及夹角，求第三边或者是已知三个边求角的问题，余弦定理加以变形并适当移于其它知识，使用起来更为方便、灵活。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值是这个锐角的余弦值。

正弦定理运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系。直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

正余弦定理详细资料大全

正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

基本介绍 中文名 ：正余弦定理 外文名 ：The Law of Sines/The Law of Cosines 别称 ：The Sine Law/The Cosine Law 表达式 ： 提出者 ：韦达/海伦/秦九韶/欧几里得 提出时间 ：10世纪/西元三世纪前 套用学科 ：数学 物理 适用领域范围 ：平面几何 立体几何 适用领域范围 ：平面三角形解析 正弦定理,概述,证明,余弦定理,概述,性质,证明,平面几何证法, 正弦定理 概述 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 正弦定理(Sine theorem) （1）已知三角形的两角与一边，解三角形 （2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 （3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。 证明 步骤1 在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC 余弦 步骤2. 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交⊙O于D. 连线DA. 因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度 因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 余弦定理 概述 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值 性质 对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质—— S△ABC=1/2absinC S△ABC=1/2bcsinA S△ABC=1/2acsinB （物理力学方面的平行四边形定则中也会用到） 余弦定理（任意三角形射影定理） 设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。 证明 平面向量证法 ∵如图，有 a + b = c (平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小） ∴ c · c =( a + b )·( a + b ) ∴ c 2 = a · a +2 a · b + b · b ∴ c 2 = a 2 + b 2 +2| a || b | Cos(π-θ) （以上粗体字元表示向量） 又∵ Cos(π-θ)=-Cos θ ∴c 2 =a 2 +b 2 -2|a||b| Cosθ （注意：这里用到了三角函式公式）再拆开，得c 2 =a 2 +b 2 -2ab c o s C 即 cos C=(a2+b2-c2)/2ab 同理可证其他，而下面的 c os C=(c2-b2-a2)/2ab就是将 c osC 移到左边表示一下。 平面几何证法 在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosBc，AD=sinBc，DC=BC-BD=a-cosBc 根据勾股定理可得： AC 2 =AD 2 +DC 2 b 2 =(sinB c) 2 +(a-cosB c) 2 b 2 =(sinBc) 2 +a 2 -2ac cosB+(cosB) 2 c 2 b 2 =(sin 2 B+cos 2 B) c 2 -2ac cosB+a 2 b 2 =c 2 +a 2 -2ac cosB cosB=(c 2 +a 2 -b 2 )/2ac