勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是几何学中最基本、最重要的定理之一。它表明，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方之和。

勾股定理：数学中的基石

定理表述

用数学语言表述，勾股定理为：

``` a² + b² = c² ```

其中：

`a` 和 `b` 是直角边的长度 `c` 是斜边的长度

证明

勾股定理的证明有多种，其中最著名的可能是毕达哥拉斯本人提供的几何证明。这个证明利用了相似三角形和面积分解的方法。

假设直角三角形的三条边分别是 `a`、`b` 和 `c`。将三角形沿着斜边 `c` 平分，得到两个较小的直角三角形，每个三角形的直角边分别为 `a/2` 和 `b/2`。

将这两个较小的三角形重新组合，可以形成一个正方形，其中：

边长为 `a/2 + b/2` 面积为 `(a/2 + b/2)²`

同时，原来的直角三角形也可以分解成一个正方形，其中：

边长为 `c` 面积为 `c²`

由于正方形的面积等于边长的平方，因此：

``` (a/2 + b/2)² = c² a² + 2ab/4 + b² = c² a² + b² = c² ```

应用

勾股定理在数学和科学领域有着广泛的应用，包括：

三角测量：测量无法直接到达的距离 建筑：确定建筑物的结构完整性和稳定性 航海：计算船舶的航线和速度 天文学：计算行星的轨道和恒星之间的距离

历史

勾股定理的起源可以追溯到古代巴比伦，但以毕达哥拉斯的名字命名，因为他据说是第一个提供定理证明的人。该定理在欧几里得的《几何原本》中得到充分阐述，成为西方数学史上的重要里程碑。

结论