均值不等式公式在数学证明和应用中发挥着至关重要的作用，提供了比较不同表达式或序列的有效方法。以下是四个最重要的均值不等式公式：

均值不等式公式的四大类型

1. 算术均值-几何均值不等式（AM-GM）

对于正实数 a1、a2、...、an，有：

``` (a1 + a2 + ... + an) / n ≥ (a1 × a2 × ... × an)^(1/n) ```

等于号成立当且仅当所有 a1、a2、...、an 相等。

2. 几何均值-调和均值不等式（GM-HM）

对于正实数 a1、a2、...、an，有：

``` (a1 × a2 × ... × an)^(1/n) ≥ n / (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an) ```

等于号成立当且仅当所有 a1、a2、...、an 相等。

3. 调和均值-均方根不等式（HM-RMS）

对于正实数 a1、a2、...、an，有：

``` n / (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an) ≥ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) / n ```

等于号成立当且仅当所有 a1、a2、...、an 相等。

4. 均方根-算术均值不等式（RMS-AM）

对于正实数 a1、a2、...、an，有：

``` (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) / n ≥ (a1 + a2 + ... + an) / n ```

等于号成立当且仅当所有 a1、a2、...、an 相等。

这些不等式在不同领域都有广泛的应用，例如：

概率论：证明切比雪夫不等式 信息论：描述熵和互信息 金融数学：计算资产组合的风险 物理学：推导出不确定性原理