周期性的一道数学题

凸函数（图象“上凸”，如：对数函数）

解：∵f(x)关于直线x=1对称

函数周期性高考真题 函数的周期性高考考不考

函数周期性高考真题 函数的周期性高考考不考

个：f(a+x)=f(b-x)的对称轴是x=(a+b)/2

∴f(x)=f(2-x)

又∵f(x)是奇函数

∴f(-x)=-f(x)

∴ f(x)=-f(x-2)

∴f(x)=-f(x-2)=-[-f(x-4)]=f(x-4)

即f(x)=f(x+4)

∴f(x)是T=4的周期函数

∴f(0)=∵f(x)是奇函数，且定义域为R0

∴f(4)=f(0)=0

求问一道高中数学题，关于函数的周期性，麻烦好心的朋友们帮忙看下~ 先谢谢了~

(3)对数的运算性质

由周期函数有f（-2.5)=f(2.5)

由奇函数有 f(-2.5)=-f(2.所以我们根据这个道理做变换:令y=a+x,则x=y-a5)

所以我们有f(2.5)=-f(2.5),所以f(2.5)=0

f(-2.5)=f(-2.5+5)=f(2.5)，是因为5是周期

f⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；(2.5)=0：奇函有f(-2.5)=f(2.5) 另外还有f(-2.5)+f(2.5)=0 所以f(2.5)=0

这是因为它是奇函数，所以f(-2.5)=-f(2.5)，然后根据周期为5，f(-2.5)=f(-2.5+5)=f(2.5)，得出f(2.5)=0，就是用到了奇函数和周期函数他们的特性。

因为若有f(-x+5)=f(x),且f(x)=f(-x), 右边的式子保证f(x)=0

而由上面左边的式子可得-x+5=x,即x=2.5

函数周期性例题

l 例：

3、令x=x+a，通过方程组:f(x+2a)=-f(x+a),f(x+a)=-f(x)

④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；

4、5、6都可以通过令x=x+a的方法来得出，f(x+2a)=f(x)，第6题计算量比较大。

我们可以得到f(x+2a)=f(x)

第七题:通过令x=x+2a、x=x+a

，我们可以得到3个方程，通过这3个方程我们可以得出:f(x+3a)=f(x)

计算量巨大，建议不要去尝试。

f(x+2)=(1+f(x+1))/(1-f(x+1)),

用条来替换掉第二条的f(x+1),

化简后得f(x)f(x+2)=-1,由此可知

f(x+2)f(x+4)=-1,将后两个方程合并得

f(x)=f(x+4),可知此周期函数的周期是4,根据f(1)=2,可推f(2001)=2

再根据之前化简得到的f(x)f(x+2)=-1,可推f(2001)f(2003)=-1

由以上两个推论可知f(2003)=-1/2.

函数的周期性题目求解

你的问题较多，这里拿个来解答，其它题目可参考。

步，令u=π/3-2x，研究sinu的单调区间。

1、根据sinu的函数曲线特点，选[-π/2,3π/2]区间来研究第七题：通过令x=x+2a、x=x+a ，我们可以得到3个方程，通过这3个方程我们可以得出：f(x+3a)=f(x) 计算量巨大，建议不要去尝试。函数单调性。

sinu在[-π/2,π/2]区间内单调递增，而在

[π/2,定义域3π/2]区间内单调递减。

2、根据sinu函数曲线的周期性可知，周期为2kπ，k为整数。

3、sinu函数的单调递增区间为[2kπ-π/2,2kπ+π/2]，单调递减区间为[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]。

第二步，x=π/6-u/2。单调递减区间为[kπ-π/12,2、求反函数的步骤 （1）解 (2)换 (3)写定义域。kπ+5π/12]，单调递增区间为[kπ-7π/12,kπ-π/12]。

高中函数的周期性，对称性，对称轴。

注：此类题应配合绘图解题。

函数的周期性

令a

,b

均不为零，若：

1.

存在

f(x)=f(x

+a)

==>

T=|a|

2.

+x)

=f(b

+x)

==>

T=|b-a|

3.

存在

f(x)

例1、下列各对函数中，相同的是（ ）=-f(x

+a)

==>

T=|2a|

4.

存在

f(x

+a)

==>

T=|2a|

5.

存在

f(x

+a)

=[f(x)

+1]/[1

–f(x)]

==>

T=|4a|

注意这个是一个轴对称的函数图像，是一个图像先要知道一个关系：

如果f(a+x)=f(a-x),那么关于x=a对称并且可以通过令y=a+x

可以推论：如果f(x)=f(2a-x)定义域关于 对称，值域关于点 对称。,

那么关于x=a对称

那么f(y)=f[(b+a)-y]

所以对称轴是x=(a+b)/2

第二个：函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的对称轴是x=(b-a)/2

注意这个是两个函数图像关于轴对称

，区别于个问题我们知道f(a+x)

表示把f(x)向左平移a个单位，而f(b-x)表示把f(x)先关于y轴翻折再向右平移b个单位。

这样，图像的形状其实没有改变，并且正好左右对称，不过对称轴不是y轴了，而是x=b与x=-a的中间直线，所以中间的位置表示就是x=(b-a)/2

扩展资料：

在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，常常为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。

自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取值时，因变量（函数）有且只有值与其相对应。

函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

设f是一个从实数集的子集射到

的函数：f在中的某个点c处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：

f在点c上有定义。c是其中的一个聚点，并且无论自变量x在中以什么方式接近c，f（x）

不用极限的概念，也可以用下面所谓的方法来定义实值函数的连续性。

仍然考虑函数。设c是f的定义域中的元素。函数f被称为是在c点连续当且仅当以下条件成立：

对于任意的正实数，存在一个正实数δ>

-δ<

x<

c+

δ，就有成立。

参考资料：搜狗百科——函数

f(a+x) = f(a-x) ==> f(x) 关于x=a对称 f(a+x) = f(b-x) ==> f(x) 关于 x=(a+b)/2 对称 f(a+x) = -f(a-x) ==> f(x) 关于点 （a，0）对称 f(a+x) = -f(a-x) + 2b ==> f(x) 关于点（a，b）对称 f(a+x) = -f(b-x) + c ==> f(x) 关于点 [（a+b）/2 ，c/2] 对称 y = f(x) 与 y = f(-x) 关于 x=0 对称 y = f(x) 与 y = -f(x) 关于 y=0 对称 y =f(x) 与 y= -f(-x) 关于点 (0,0) 对称

例1：证明函数 y = f(a+x) 与 y = f(b-x) 关于 x=(b-a)/2 对称。

【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

证明：设任意一点P（m，n）在函数y = f(a+x) 上，令关于 x=t 的对称点Q（2t – m，n）， 那么n =f(a+m) = f[ b – (2t – m)]

∴ b – 2t =a ， ==> t = (b-a)/2 ，即证得对称轴为 x=(b-a)/2 .

例2：证明函数 y = f(a - x) 与 y = f(x – b) 关于 x=(a + b)/2 对称。

证明：设任意一点P（m，n）在函数y = f(a - x) 上，令关于 x=t 的对称点Q（2t – m，n）， 那么n =f(a-m) = f[ (2t – m) – b]

∴ 2t - b =a ， ==> t = (a + b)/2 ，即证得对称轴为 x=(a + b)/2 .

二、函数的周期性

令a , b 均不为零，若：

1. 函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|

2. 函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|

3. 函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|

4. 函数y = f(x) 存在 f(x + a) =1/f(x) ==> 函数最小正周期 T=|2a|

5. 函数y = f(x) 存在 f(x + a) = [f(x) + 1]/[1 – f(x)] ==> 函数最小正周期 T=|4a|

函数周期性例题讲解

单调递减

3、令x=x+a，通过方程组：f(x+2a)=-f(x+a),f(x+a)=-f(x) 我们可以得到f(x+2a)=f(x)

4、5、6都可以通过令x=x+a的方法来得出，f(=例：设函数 的反函数为 ，且 的图像过点 ，则 的图像必过f(x)x+2a)=f(x)，第6题计算量比较大。

高中数学函数周期性问题

由f(6+x)=f(x),可得周期T=6

所以f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（-3）=-1，f（4）=f（—2）=0，f（5）=f（-1）=(-∞,+ ∞)-1，f（6）=f（0七、反函数）=0

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4对称轴是 ， ，)+f(5)+……+f(2012)=338

数学求教！高一已知函数

函数最小正周期

一、函数的概念与表示

1、映射

（1）映射：设A、B是两个，如果按照某种映射法则f，对于A中的任一个元素，在B中都有的元素和它对应，则这样的对应（包括A、B以及A到B的对应法则f）叫做A到B的映射，记作f：A→B。

注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

2、函数

构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域

两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

A、 B、

C、 D、f（x）=x，

例2、 给出下列四个图形，其中能表示从M到N的函数关系的有（ ）

A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个

xx

xx

12

11

12

一般形式22

11

11

22

22

yy

yy

3O

OO

O二、函数的解析式与定义域

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；

（3）对数函数的真数必须大于零；

（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

例.（05江苏卷）函数 的定义域为________________________

2求函数定义域的两个难点问题

例3：

（1）

（2） 。

例4：设 ，则 的定义域为__________

变式练习： ，求 的定义域。

三、函数的值域

1求函数值域的方法

①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；

②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；

③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且 ∈R的分式；

⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；

存在f(a⑦利用对号函数

⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含函数

例：

1．（直接法） 2．

5. 6. (分离常数法) ① ②

7. (单调性)

8.① ，② (结合分子/分母有理化的数学方法)

11. (几何意义)

四．函数的奇偶性

1．定义:设y=f(x)，x∈A，如果对于任意 ∈A，都有 ，则称y=f(x)为偶函数。

如果对于任意 ∈A，都有 ，则称y=f(x)为奇函数。

2.性质：

②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]

3．奇偶性的判断

①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系

1 已知函数 是定义在 上的偶函数. 当 时， ，则当 时， .

2 已知定义域为 的函数 是奇函数。

（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围；

3 已知 在（－1，1）上有定义，且满足

证明： 在（－1，1）上为奇函数；

4 若奇函数 满足 ， ，则 _______

五、函数的单调性

1、函数单调性的定义：

2 设 是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则 在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则 在M上是增函数。

1判断函数 的单调性。

2函数 对任意的 ，都有 ，并且当 时， ，

⑴求证： 在 上是增函数； ⑵若 ，解不等式

3函数 的单调增区间是________

4(高考真题)已知 是 上的减函数，那么 的取值范围是 （ ）

（A） （B） （C） （D）

六．函数的周期性：

1．（定义）若 是周期函数，T是它的一个周期。

说明：nT也是 的周期。（推广）若 ，则 是周期函数， 是它的一个周期

l 对照记忆：

说明：

说明：

2．若 ； ； ；则 周期是2

1 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为（ ）

(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2

2 定义在R上的偶函数 ，满足 ，在区间［-2,0］上单调递减，设 ，则 的大小顺序为_____________

3 已知f (x)是定义在实数集上的函数，且 则f (2005)= .

4 已知 是(- )上的奇函数， ，当0 1时，f(x)=x，则f(7.5)=________

5设 是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足 ，当 时

⑴求证： 是周期函数；⑵当 时，求 的解析式；⑶计算：

1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；

3、关于反函数的性质

（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；

（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；

（3）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)；

（4）f-1[f(x)]=x;

（5）若点 (a,b)在y=f(x)的图象上，则 (b,a)在y=f--1(x)的图象上；

（6）y=f(x)的图象与其反函数y=f--1(x)的图象的交点一定在直线y=x上;

八．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)

1．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴 ，顶点坐标

2．二次函数与一元二次方程关系

一元二次方程 的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 的 的取值。

一元二次不等式 的解集(a>0)

二次函数

△情况

一元二次不等式解集

Y=ax2+bx+c (a>0)

△=b2-4ac

ax2+bx+c>0

(a>0)

ax2+bx+c<0

(a>0)

图象与解

△>0

△=0

△<0

Rl 例：

1、已知函数 在区间 上是增函数，则 的范围是（ ）

（A） (B) (C) (D)

2、方程 有一根大于1，另一根小于1，则实根m的取值范围是_______

九．指数式与对数式

1．幂的有关概念

(1)零指数幂 (2)负整数指数幂

(3)正分数指数幂 ；

(4)负分数指数幂

(5) 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

3．根式 根式的性质:当 是奇数，则 ；当 是偶数，则

4．对数

(1)对数的概念:如果 ,那么b叫做以a为底N的对数,记

(2)对数的性质：①零与负数没有对数 ② ③

logMN=logM+logN

对数换底公式：

对数的降幂公式：

(1) (2)

十．指数函数与对数函数

1、 指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a≠1)互为反函数

名称

指数函数

对数函数

Y=ax (a>0且a≠1)

y=logax (a>0 , a≠1)

(0,+ ∞)

值域

(0,+ ∞)

过定点

（０，1）

（1，０）

指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a≠1)图象关于y=x对称

单调性

a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数

０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数

a>1,在(0,+ ∞)上为增函数

０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数

值分布

y>1 ? y<1?

y>0? y<0?

2. 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同

2、 ，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）

记住下列特殊值为底数的函数图象：

3、 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制

4、 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。

例：

1、（1） 的定义域为_______；（2） 的值域为_________；

（3） 的递增区间为 ，值域为

2、（1） ，则

3、要使函数 在 上 恒成立。求 的取值范围。

4.若a2x+ ·ax－ ≤0（a＞0且a≠1），求y=2a2x－3·ax+4的值域.

十一．函数的图象变换

（1） 1、平移变换： （左+ 右- ，上+ 下- ）即

1．f(x)的图象过点(0,1)，则f(4-x)的反函数的图象过点（ ）

A.(3,0) B.(0,3) C.(4,1) D.(1,4)

2．作出下列函数的简图：

（1）y=|log |； （2）y=|2x-1|； （3） y=2|x|；

十二．函数的其他性质

1．函数的单调性通常也可以以下列形式表达：

单调递增

2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：

奇函数

偶函数

3．函数的凸凹性：

凹函数（图象“下凹”，如：指数函数）

一道有关函数周期性的题目求解

①y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于 轴对称, y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称,

f(5)=f(1)=2

f(7)=f(-1)=f(1)=2

f(2007)=f(-1)=2

f(2008)=f(0)=1

都是利用周期性

周期为4，所以f（5）=f(4+1)=f(1)=11+1=2

f（7）=f(3)=f（-1）由于是偶函数9．(图象法) 10．(对号函数)，f（-1）=f（1）

所以f（7）=f（1）=2

f（2007）=f（3）=f(-1)=2

f(2008)=f(0)=0+1=1

周期函数有:f(x)=f(x+nT)=f(2．有理数指数幂的性质x-nT) T为周期.n为自然数

偶函数有:f(x)=f(-x)

所以,f(5)=f(1)=2 ;

f(7)=f(-7)=f(1)=2 ;

f(2007)=f(7)=2 ;

f(2008)=f(0)=1 ;

上面回答显然不是特别严谨，x的范围是[0，2]那么f(-1)就不成立

因为周期T=4，那么f(5)=f(5-4)=f(1)=1^2+1=2

f(7)=f(7-4-4)=f(-1),由于f(x)=x^2+1是关于y轴对称的偶函数，则f(-1)=f(1)=2

f(2007)=f(2000+7)，由于2000是4的倍数，则f(2007)=f(7)=f(-1)=f(1)=2

同理，f(2008)=f(8)=f(8-4-4)=f(0)=1

要充分利用条件，既要注意到周期性，又要通过定义域来以偶函数的性质来求解

因为f（x）是偶函数，所以f（-x）＝f（x），而函数x^2+1满足这个性质，所以在一个 周期内【-2，2】函数的表达式都是f（x）＝xx+1，所以f（5）＝f（4+1）＝f（1）＝11+1＝2，f（7）＝f（24-1）＝f（-1)=(-1)^2+1=2,f（2007）＝f（4502-1）＝f（-1）＝2，f（2008）＝f（4502+0）＝f（0)=1

也就是将自变量经过周期平移，移到函数的定义域【-2，2】，中。

f(5)=2

f(7)=2

f(2007)=2

f(2008)=1

将0，1，2分别代入f(x)=x^2+1，得f(0）=1,f(1)=2,f(2)=5，因为y=f(x)是周期为4的偶函数，所以y=f(x)的图象关于Y轴对称…………只要你画图就能看出f(5),f(7),f(2007),f(2008)的植

！

又来迟了