六年级数学《鸽巢问题》教学设计

设鸽子的数为n，鸽笼的个数为k，那么上述原理转换下就是：鸽巢原理

《鸽巢问题》是六年级下册内容，早指出这个数学原理的，是十九世纪的德国数学家狄里克雷，下面我为你整理了六年级数学《鸽巢问题》教学设计。希望对你有帮助。

鸽巢问题的三个公式 鸽巢问题的三个公式原创力

鸽巢问题的三个公式 鸽巢问题的三个公式原创力

《鸽巢问题》教学设计

一、教学目标

(一)知识与技能

通过数学活动让学生了解鸽巢原理，学会简单的鸽巢原理分析方法。

(二)过程与方法

结合具体的实际问题，通过实验、观察、分析、归纳等数学活动，让学生通过思考与合作交流等活动提高解决实际问题的能力。

(三)情感态度和价值观

在主动参与数学活动的过程中，让学生切实体会到探索的乐趣，让学生切实体会到数学与生活的紧密结合。

二、教学重难点

教学重点：理解鸽巢原理，掌握先“平均分”，再调整的方法。

教学难点：理解“总有”“至少”的意义，理解“至少数=商数+1”。

四、教学过程

(一)游戏引入

出示一副扑克牌。

教师：今天老师要给大家表演一个“魔术”。取出大王和小王，还剩下52张牌，下面请5位同学上来，每人随意抽一张，不管怎么抽，至少有2张牌是同花色的。同学们相信吗?

5位同学上台，抽牌，亮牌，统计。

教师：这类问题在数学上称为鸽巢问题(板书)。因为52张扑克牌数量较大，为了方便研究，我们先来研究几个数量较小的同类问题。

【设计意图】从学生喜欢的“魔术”入手，设置悬念，激发学生学习的兴趣和求知欲望，从而提出需要研究的数学问题。

(二)探索新知

(1)教师：把3支铅笔放到2个铅笔盒里，有哪些放法?请同桌二人为一组动手试一试。

教师：谁来说一说结果?

预设：一个放3支，另一个不放;一个放2支，另一个放1支。(教师根据学生回答在黑板上画图表示两种结果)

教师：“不管怎么放，总有一个铅笔盒里至少有2支铅笔”，这句话说得对吗?

教师：这句话里“总有”是什么意思?

预设：一定有。

教师：这句话里“至少有2支”是什么意思?

【设计意图】把教材中例1的“笔筒”改为“铅笔盒”，便于学生准备学具。且用画图和数的分解来表示上述问题的结果，更直观。通过对“总有”“至少”的意思的单独说明，让学生更深入地理解“不管怎么放，总有一个铅笔盒里至少有2支铅笔”这句话。

教师：谁来说一说结果?

学生仿照上例得出“不管怎么放，总有一个铅笔盒里至少有2支铅笔”。

设法(反证法)：

教师：前面我们是通过动手作得出这一结论的，想一想，能不能找到一种更为直接的方法得到这个结论呢?小组讨论一下。

学生进行组内交流，再汇报，教师进行总结：

如果每个盒子里放1支铅笔，多放3支，剩下的1支不管放进哪一个盒子里，总有一个盒子里至少有2支铅笔。首先通过平均分，余下1支，不管放在哪个盒子里，一定会出现“总有一个盒子里至少有2支铅笔”。这就是平均分的方法。

【设计意图】从另一方面入手，逐步引入设法来说理，从实际作上升为理论水平，进一步加深理解。

教师：把5支铅笔放到4个铅笔盒里呢?

学生分析“如果每个盒子里放1支铅笔，多放4支，剩下的1支不管放进哪一个盒子里，总有一个盒子里至少有2支铅笔。首先通过平均分，余下1支，不管放在哪个盒子里，一定会出现“总有一个盒子里至少有2支铅笔”。

教师：把6支铅笔放到5个铅笔盒里呢?把7支铅笔放到6个铅笔盒里呢?……你发现了什么?

学生得出“只要铅笔数比铅笔盒数多1，总有一个盒子里至少有2支铅笔”。

教师：上面各个问题，我们都采用了什么方法?

学生通过观察比较得出“平均分”的方法。

【设计意图】让学生自己通过观察比较得出“平均分”的方法，将解题经验上升为理论水平，进一步强化方法、理清思路。

(3)教师：现在我们回过头来揭示本节课开头的魔术的结果，你能来说一说这个魔术的道理吗?

学生分析“如果4人选中了4种不同的花色，剩下的1人不管选那种花色，总会和其他4人里的一人相同。总有一种花色，至少有2人选”。

【设计意图】回到课开头提出的问题，揭示悬念，满足学生的好奇心，让学生认识到数学的应用价值。

(4)练习教材第68页“做一做”第1题(进一步练习“平均分”的方法)。

5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么?

2.教学例2。

(1)课件出示例2。

把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。为什么?

先小组讨论，再汇报。

(2)教师：如果把8本书放进3个抽屉，会出现怎样的结论呢?10本呢?11本呢?16本呢?

教师根据学生的回答板书：

7÷3=2……1 不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本;

11÷3=3……2 不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进4本;

【设计意图】一步一步学生合作交流、自主探索，让学生亲身经历问题解决的全过程，增强学习的积极性和主动性。

8÷3=2……2 不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本;(三)巩固练习

1.11只鸽子飞进了4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。为什么?

2.5个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人。为什么?

(四)课堂小结

可以用画图的方法来帮助我们分析，也可以用除法的意义来解答。

1、借助直观学具演示，经历探究过程。教师注重让学生在作中，经历探究过程，感知、理解鸽巢问题。

[Combinatorial] 6 容斥与鸽巢

必定有一个人射中 21 环。

6 容斥和鸽巢

我想容斥就是把不好算的补集的并集转化为求交集。交集是很好球的了。

鸽巢比较难的一个地方就是，如何构造鸽巢。

求从1到500的整数中能被3或5除尽的数的个数。

求不超过120的素数个数

欧拉函数

在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。它又称为Euler's totient、function、φ函数、欧拉商数等。

例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。

φ函数的值

通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)，其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（和1互质的数就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2 2 3，那么φ（12）=12 （1-1/2） (1-1/3)=4)

若n是质数p的k次幂，φ(n)=p k-p (k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这例 已知n + 1个正整数，它们全都小于或等于2n，证明当中一定有两个数是互质的。里函数φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。

欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。

“若有n-1个鸽子巢，n个鸽子，则至少有一个巢内有至少有2个鸽子。”

例 从1到2n的正整数中任取n+1个，则这n+1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。

例 设a1, a2, ··· , a100是由 1和2组成的序列 , 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai + ai+1 +… + ai+9 ≤16，1≤ i ≤则至少存在 h 和 k ，k > h，使得ah + ah+1 +… + ak = 39

一个抽屉里面有20件衬衣，其中4件蓝色的，7件灰色的，9件红色的，问从中任意取至少多少件保证有4件同色的？

鸽巢原理：n个鸽巢，kn+1只鸽子，至少有一个鸽巢里面有k+1个鸽子。

解：有三种颜色，三个鸽巢，要求k+1=4，K=3, kn+1=10,从中任意取至少10件才能保证有4件同色的。

一个抽屉里面有20件衬衣，其中4件蓝色的，7件灰色的，9件红色的，问从中任意取至少多少件能保证有5，6，7，8，9件同色的？

故需取4+4×2+1=13件能保证有5件同色的

例 6 个人中至少存在3人相互认识或者相互不认识．

这个问题可转化为完全图的着色形式即:完全图K6(即6个点及它们两两之间所有连边组成的图)的边红蓝二着色,证明存在同色三角形．

鸽巢问题原理

鸽巢问题是一种的组合数学问题，主要涉及的是如何给$n$个物品分配到$m$个容器中，使得每个容器中的物品数量均匀分布，即每个容器中的物品数距小。这个问题可以用数学方法解决，其中一个关键原理是抽屉原理。

抽屉原理是指，如果将$n+1$个物品放入$n$个抽屉中，那么至少有一个抽屉中至少有两个物品。对于鸽巢问题来说，我们可以将$n$个物品看成$n$个鸽子，将$m$个容器看成$m$个鸽巢，将每个容器中的物品数量看成一只鸽子。根据抽屉原理可以得出，如果$n>m$，那么必然存在一个鸽巢中至少有两只鸽子，也就是至少有一个容器中的物品数量超过了平均数。

因此1.教学例1。，为了避免鸽巢问题，我们要使得$n leq m$，即容器的数量不少于物品的数量。同时，我们需要将$n$个物品尽可能均匀地分布到$m$个容器中，需要满足每个容器中的物品数量与所有容器中物品数量的平均数的距小。这可以通过一些算法来实现，如贪心算法、教师：通过这节课的学习，你有哪些新的收获呢?动态规划等。

总之，鸽巢问题的解决原理是抽屉原理，即利用数学原理分析问题的本质，从而找到解。在实际应用中，鸽巢问题有着广泛的应用，如在数据库查询优化、任务分配、货物调度等领域中都有重要的应用。

抽屉原理

抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理。把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果．这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现．用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。

抽屉原理公式

证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥原理1、2、3都是抽屉原理的表述。1)，故不可能。

原理2：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。

证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体，那么n个抽屉至多放进mn个物体，与题设不符，故不可能。

原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至学生：可以放(4，0，0);(3，1，0);(2，2，0);(2，1，1)。(教师根据学生回答在黑板上画图表示四种结果)少有一个抽屉里有无穷个物体。

六年级数学鸽巢问题求帮忙

学生得出仿照例1“平均分”的方法得出“如果每个抽屉放2本，剩下1本不管放在哪个抽屉里，都会变成3本，所以总有一个抽屉里至少放进3本书。”

121÷6＝20……1

例如：有8个乒乓球，放到3个盒子里，至少有一个盒子放了至少3个

20+1=21(环)

答:至少有一个人射中21环。

病题就嫑做了，好吗？

五(2)班第1小组有13名学生，至少有2个同学的生日在同一个月。为什么？鸽巢问题

原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

1312=1预设：少有2支，不少于2支，包括2支及2支以上。.....1 1+1=2

一年就12个月

六年级下册数学。数学广角鸽巢问题。中的总有和至少分别是什么意思？

学生得出“物体数÷抽屉数=商数……余数”“至少数=商数+1”。

总有就是一定有的意思。至少就是不会少于的意思。

例如：10支圆珠笔放进3个文具盒里，每个放3支还剩1支，所以总有1个文具盒里至少有4支圆珠笔。

10÷3=3（支）……1（支）

3+1=4（支）

一定有一个文具盒里不会少于4支圆珠笔的意思。

例如：6只猴子分桃，每次每只分1个，总有1只至少分到5多媒体课件。个，至少有多少个桃子？

解析:6只猴子分桃，每次每只分1个，一定有1只不少于5个，说明其他5只都分到了4个。所以

（5-1）×6+1=25（个）

答:至少有25个桃。

扩展资料

鸽巢问题又叫抽屉原理

构造抽屉的方法

运用抽屉原理的核心是分析清楚问题中，哪个是物件，哪个是抽屉。例如，属相是有12个，那么任意37个人中，至少有一个属相是不少于4个人。

这时将属相看成12个抽屉，则一个抽屉中有 37/12，即3余1，余数不考虑，而向上考虑取整数，所以这里是3+1=4个人，但这里需要注意的是，前面的余数1和这里加上的1是不一样的 [3] 。

因此，在问题中，较多的一方就是物件，较少的一方就是抽屉，比如上述问题中的属相12个，就是对应抽屉，37个人就是对应物件，因为37相对12多。

总有=一定有

至少=不会少于

鸽巢问题是不是多是减一至少是加一？

解：（5件）：次取正好4件蓝色的，剩下的从红色和灰色中取，n=2,k+1=5

不是的，是总数除以份数，有余数了商＋1

8÷3＝2…（铅笔数）÷（笔筒数）=1……余数，至少数：1+（1）=（2）。…2

2+1＝3

鸽巢问题求解答

(2)教师：把3. 鸽巢问题的解决方法4支铅笔放到3个铅笔盒里，有哪些放法?请4人为一组动手试一试。